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[注意]2013年高考理科數學試題(新課標全國卷Ⅰ)         
2013年高考理科數學試題(新課標全國卷Ⅰ)
作者:溫日明 文章來源:本站原創 點擊數: 更新時間:2015/6/10 16:30:59

2013年高考理科數學試題(新課標全國卷Ⅰ)

.解答題:解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。

17、(本小題滿分12分)如圖,在△ABC中,∠ABC90°,AB=,BC=1,P為△ABC內一點,

BPC90°

(1)PB=,求PA;

(2)APB150°,求tanPBA

 

 

 

 

18、(本小題滿分12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

)證明ABA1C;

)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值。

 

 

 

 

 

19、(本小題滿分12分)一批產品需要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產品中任取4件作檢驗,這4件產品中優質品的件數記為n.如果n=3,再從這批產品中任取4件作檢驗,若都為優質品,則這批產品通過檢驗;如果n=4,再從這批產品中任取1件作檢驗,若為優質品,則這批產品通過檢驗;其他情況下,這批產品都不能通過檢驗。假設這批產品的優質品率為50%,即取出的產品是優質品的概率都為50%,且各件產品是否為優質品相互獨立.

1)求這批產品通過檢驗的概率;

2)已知每件產品檢驗費用為100元,凡抽取的每件產品都需要檢驗,對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數學期望。

 

 

 

 

 20、(本小題滿分12)已知圓 : , : ,動圓 外切并且與圓 內切,圓心 的軌跡為曲線 C.
   
)求C的方程;

   
是與圓 , 都相切的一條直線, 與曲線C交于A,B兩點,當圓P的半徑最長時,求|AB|.

21、(本小題滿分共12分)已知函數 , ,若曲線 曲線 都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線

)求 , , , 的值

)若 ≥-2時, ,求 的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

請考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答。注意:只能做所選定的題目。如果多做,則按所做的第一個題目計分,作答時請用2B鉛筆在答題卡上將所選題號后的 方框涂黑。

22、(本小題滿分10分)選修41:幾何證明選講  題目略

 

23、(本小題10分)選修44:坐標系與參數方程 

 已知曲線C1的參數方程為 ( 為參數),以坐標原點為極點, 軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為 。

)把C1的參數方程化為極坐標方程;

)求C1C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π)。

 

 

 

 

24、(本小題滿分10分)選修45:不等式選講

已知函數 = , = .

)當 =2時,求不等式 的解集;

)設 -1,且當 [ , )時, , 的取值范圍.

 

2013年高考理科數學試題(新課標全國卷Ⅰ)答案

17.【解析】(Ⅰ)由已知得,∠PBC= ,∴∠PBA=30o,在△PBA中,由余弦定理得 = = ,∴PA= ;

(Ⅱ)設∠PBA= ,由已知得,PB= ,在△PBA中,由正弦定理得, ,化簡得, ,∴ = ,∴ = .

18.【解析】(Ⅰ)取AB中點E,連結CE, , ,

AB= , = ,∴ 是正三角形,

AB,∵CA=CB,∴CEAB, =E,∴AB⊥面 ,  AB ;…6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知ECAB, AB,

又∵面ABC⊥面 ,面ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC ,

EA,EC, 兩兩相互垂直,以E為坐標原點, 的方向為 軸正方向,| |為單位長度,建立如圖所示空間直角坐標系 ,有題設知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(1,0,0), =1,0, , = =(1,0, ), =(0, , ),  ……9

= 是平面 的法向量,則 ,即 ,

可取 = ,1,-1),∴ = ,

直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為 .       ……12

19.【解析】設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件A,第一次取出的4件產品中全為優質品為事件B,第二次取出的4件產品都是優質品為事件C,第二次取出的1件產品是優質品為事件D,這批產品通過檢驗為事件E,根據題意有E=(AB)(CD),ABCD互斥,

P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= + = .6

(Ⅱ)X的可能取值為400,500,800,并且

P(X=400)=1- = ,P(X=500)= ,P(X=800)= = ,

X的分布列為

X

400

500

800

P

                                                      ……10

EX=400× +500× +800× =506.25                  ……12

20.【解析】由已知得圓 的圓心為 -1,0,半徑 =1,圓 的圓心為 (1,0),半徑 =3.

設動圓 的圓心為 , ),半徑為R.

(Ⅰ)∵圓 與圓 外切且與圓 內切,∴|PM|+|PN|= = =4,

由橢圓的定義可知,曲線C是以M,N為左右焦點,場半軸長為2,短半軸長為 的橢圓(左頂點除外),其方程為 .

(Ⅱ)對于曲線C上任意一點 , ),由于|PM|-|PN|= 2,∴R2,

當且僅當圓P的圓心為(2,0)時,R=2.

∴當圓P的半徑最長時,其方程為 ,

的傾斜角為 時,則 軸重合,可得|AB|= .

的傾斜角不為 時,由 R 不平行 軸,設 軸的交點為Q,則 = ,可求得Q-4,0),∴設 ,由 于圓M相切得 ,解得 .

= 時,將 代入 并整理得 ,解得 = ,∴|AB|= = .

= 時,由圖形的對稱性可知|AB|= ,

綜上,|AB|= |AB|= .

21【解析】(Ⅰ)由已知得 ,

= , = ,∴ =4, =2, =2, =2;……4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, , ,

設函數 = = ),

= = ,

有題設可得 0,即 ,

=0得, = , =2,

1)若 ,則-2 0,∴當 時, 0,當 時, 0,即 單調遞減,在 單調遞增,故 = 取最小值 ,而 = = 0,

∴當 ≥-2時, 0,即 恒成立,

(2) ,則 = ,

∴當 ≥-2時, 0,∴ (2,+)單調遞增,而 =0,

∴當 ≥-2時, 0,即 恒成立,

(3) ,則 = = 0,

∴當 ≥-2時, 不可能恒成立,

綜上所述, 的取值范圍為[1, ].

 23.【解析】將 消去參數 ,化為普通方程 ,

,將 代入 得,

,

的極坐標方程為 ;

的普通方程為 ,

解得 ,∴ 的交點的極坐標分別為( ), .

24.【解析】當 =-2時,不等式 化為 ,

設函數 = , = ,

其圖像如圖所示,從圖像可知,當且僅當 時, 0,∴原不等式解集是 .

)當 [ , )時, = ,不等式 化為 ,

[ , )都成立,故 ,即 ,

的取值范圍為(-1, ].

 

 

 

文章錄入:溫日明    責任編輯:溫日明 
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